PAIKAN MÄÄRITYS TÄHTIEN AVULLA

Merenkulkijat ovat jo kauan määrittäneet laivan sijaintipaikan taivaankappaleiden avulla. Vanhirnpia keinoja oli mitata taivaannavan korkeus. Taivaannapa oli aikoinaan Kochabin ja myöhemmin Pohjantähden lähellä. Maalla leveyspiiri määritettiin niinsanotulla gnoonomilla. Se oli keppi, jolla mitatiin keskipäivän Auringon varjon pituus. Kevät- ja syyspäiväntasauksen aikaan gnoonomilla voitiin määrittää leveyspiiri suoraan. Legendaarinen tutkimusmatkailija Pytheas käytti gnoonomia käydessään Ultima Thulessa. Pytheaan havaintojen perusteella on myöhemmin kyetty määrittämään, missä tarumainen Ultima Thule sijaitsi. Asiasta kiinnostuneet voivat lukea Lennart Meren kirjan "Hopeavalkea.
Pituuspiiri voitiin määrittää vasta sitten, kun oli keksitty riittävän tarkka kronometri. Se näyttää vertailumeridiaanin aikaa. Pituuspiiri saadaan mittauksesta lasketun paikallisajan ja kronometrin näyttämän vertailuajan erotuksesta.

Sumnerin mullistava keksintö

Amerikkalainen merikapteeni Thomas H. Sumner teki vuonna 1837 keksinnön jolla on ollut mullistava merkitys. Sumnerin menetelmä perustuu siihen, että siirryttäessä tähden suuntaan k astetta, tähti nousee k astetta korkeammalle. Siirryttäessä poispäin tähti vastaavasti laskee alemmaksi.
Yksi meripeninkulma vastaa yhden kulmaminuutin siirtymää. Sumner kykeni määrittämään sijaintiviivan, joita katsottuna tähti näkyy samalla korkeudella. Sumnerin keksinnön pohjalta paikanmääritykseen riitti kahden tähden korkeuden mittaus. Se on mahdollista tehdä ratkaisevasti useammin kuin Auringon puolipäiväkorkeuden määritys, johon aiemmat menetelmät perustuivat. Mitatuista korkeuksista voidaan määrittää kaksi sijaintiviivaa, joiden leikkauspisteessä on laivan todellinen paikka.

Korkeusmenetelmä syrjäytti muut

Ranskalainen meriupseeri Maroq Saint-Hilaire kehitti vuonna, 1875 Sumnerin menetelmän pohjalta niinsanotun korkeusmenetelrnän. Se syrjäytti kaikki muut. Siinä mitataan kahden tähden korkeus, arvioidaan laivan paikka merkintälaskun avulla ja lasketaan oletetun paikan avulla tähtien korkeudet. Mitatut ja lasketut korkeudet poikkeavat toisistaan sen mukaan, kuinka paljon laivan arvioitu paikka eroaa todellisesta sijainnista. Oletetusta merkintäpaikasta siirrytään tähden suuntaan tai poispäin korkeuseron verran, käytännössä yleensä muutaman kulmaminuutin. Saatuun pisteeseen piirretään suora, joka on kohtisuorassa siirtymisuuntaa vastaan. Laiva sijaitsee tällä sijoittajaksi tai Sumnerin viivaksi nimetyllä suoralla. Sama toimitus tehdään kummallekin tähdelle. Saatujen suorien leikkauspiste osoittaa todellisen sijaintipaikan. Tarkasti ottaen Sumnerin viivat ovat ympyröitä, mutta niiden lyhyet osat voidaan approksimoida suoriksi.

Korkeusmenetelmän ohjelmointi tietokoneelle

Paikantamisen graafinen ratkaisu on työläs. Korkeusmenetelmä voidaan mainiosti ohjelmoida tietokoneelle. Silloin voidaan käyttää tarkkoja pallotrigonometrisiä lausekkeita, jotka kuvaavat Sumnerin ympyröitä. Riittää, että mitataan kahden tähden korkeus, katsotaan Greenwichin aika, päivämäärä ja tähtien deklinaatiot ja rektaskentiot. Alkuarvioina annetaan oletettu leveys- ja pituuspiiri. Tuloksena saadaan tarkka leveys- ja pituuspiiri. Tietokone tekee paikanmäärityksestä helpon tehtävän.

Ratkaisu perustuu tähden korkeuskuiman lausekkeeseen. Koska määritettävänä on kaksi tuntematonta, leveyspiiri ja pituuspiiri, tarvitaan kaksi yhtälöä. Ne saadaan, jos mitataan kahden tähden korkeus.Tarkkuuden kannalta paras tilanne on sellainen, jossa tähtien atsimuutit, suunnat, ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Käytännössä kannattaa mitata useamman tähden korkeus. Esimerkiksi kolmesta tähdestä saadaan kolme yhtälöparia. Ratkaisuista lasketaan keskiarvo. Samalla saadaan jonkinlainen käsitys virherajoista.

Olkoon
Kl,K2 = tähtien korkeudet, mitataan
X = leveyspiiri, tuntematon
Dl,D2 = tähtien deklinaatiot, saadaan taulukosta
Rl,R2 = tähtien rektaskentiot, saadaan taulukosta
Tl,T2 = Greenwichin tähtiajat , lasketaan
Y = pituuspiiri, tuntematon

Saadaan epälineaarinen yhtälöpari

sin(KI) = sin(X)sin(Dl) + cos(X)cos(Dl)cos(Y+TI-Rl)
sin(K2) = sin(X)sin(D2) + cos(X)cos(D2)cos(Y+T2-R2)

Kulmat, tähtiajat ja rektaskentiot on ilmaistava radiaaneina, mikäli tietokone ei tunne asteita. Newtonin interointimenetelmän alkuarvoksi otetaan oletettu leveyspiiri X ja oletettu pituuspiiri Y. Oletusarvot voivat olla karkeitakin arvioita. Ratkaisuna saadaan mittausta vastaava leveys ja pituus. Ne on ilmaistava vielä astemuodossa. Tarkkuus riippuu tietysti mittauksesta ja tähtien taulukkoarvon oikeellisuudesta. Käytännössä sekstantilla voidaan saavuttaa yhden kulmaminuutin tarkkuus. Teodoliitti on tarkempi, mutta valon taipuminen ilmakehässä vaikeuttaa korkeuden määrittämistä. Kulmaminuutin tarkkuus merkitsee päiväntasaajalla noin 1.8 kilometrin virhettä. Käytännössä tämä riittää.

MITTAUSKOKEILU OULUSSA

Mittasin keväällä koulun tauluasteviivaimesta rakentamallani "astrolabilla" eräänä yönä Vegan ja Arcturuksen korkeudet. Astelevyn mittaustarkkuus on noin puoli astetta. Laite on muinaisten babylonialaisten tähtitieteilijöiden astrolabin kaltainen. AT-yhteensopiva tietokone ratkaisi pituus- ja leveyspiirin alle sekunnissa. Commodore 64 vain hetkisen kauemmin, mutta Sharp 1247-taskumikro joutui työskentelemään seitsemän minuuttia. Leveyspiirin virhe oli vain 3 kulmaminuuttia ja pituuspiirin 26 kulmaminuuttia. Kilometreinä virheet olivat 6 km ja 20 km. Näinkin alkeellisella kulmanmittausvälineellä saavutetaan siis tarkkuus, joka on valtamerellä riittävä. Jos Sharpille käytetään lopetusehtona kulmaminuutin tarkkuutta, laskenta-aika jää noin viiteen minuuttiin.

JA AMAZONILLA…

Olin kesällä 1987 kuukauden Amazonilla ja Perun vuoristossa. Mukanani oli taskumikro Sharp 1247 ja kompassia muistuttava kaltevuusmittari. Mittarin tarkkuus on noin viisi piirua eli parikymmentä kulmaminuuttia. Näillä välineillä määritin sijaintini Manauksessa, Kolumbian viidakossa, laivamatkalla Amazonilla ja Cuscon inkakaupungissa. Tulokset olivat ylhteensopivia kartan kanssa. Cuscossa Alfa Centauri ja Regulus olivat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Ne antoivat leveyspiiriksi -13'24' ja pituuspiiriksi -71'59'. Turistiesite kertoo kaupungin keskustan paikaksi -13'30'45" ja -71'58'33".

AJOESIMERKKI

Tähti 1 (Arcturus)
9.5.1987 klo 22:26:15 Greenwichin aikaa
- korkeus 43° 04' 11"
- deklinaatio 19° 14' 50"
- rektaskentio 14h 15m 05s

Tähti 2 (Vega)
9.5.1987 klo 22:27:20 Greenwichin aikaa
- korkeus 51° 22' 09"
- deklinaatio 38° 46' 18"
- rektaskentio 18h 36m 31s

Tulokseksi saatiin mittauspaikan
-leveyspiiriksi 65° 01' 33"
-pituuspiiriksi 25° 32' 12"

Tulos on kartan mukaan tarkka.


Kirjoittaja:Juhani Kaukoranta

juhani.kaukoranta@mail.suomi.net
Sähköpostia kirjoittajalle
Artikkeli julkaistu URSA:n lehdessä "Tähdet ja Avaruus" ja MAOL:N lehdessä Funktio

Paikannus korkeusmenetelmän avulla (www-sivun Javascript-lomake)

Navigointi, paikantaminen ja niiden matematiikkaa


Paluu
Juhani Kaukoranta